EJERCICIOS DE VECTORES

ESQUEMA

• Introducción.

Definición de Vectores.

Elementos de un vector, descripción de cada uno.

Representación grafica de un vector. Dado su origen y su extremo.

Componentes de un vector grafica y analíticamente. Con ejemplos.

Vectores equipolentes. Definición, ejercicios de equipolencia de vectores.

Adición y sustracción de vectores, grafica y analíticamente; ejemplos.

Multiplicación de un número por un vector, grafica y analíticamente.

Producto escalar de 2 vectores. Definición y ejercicios.

Vectores perpendiculares u Ortogonales. Definición y ejercicios.

Vectores paralelos D Y E.

Vector Unitario. Ejemplo y grafico.

Normas de un vector. D Y E.

Vector combinación lineal de otros. Definición y Ejercicios.

Dependencia e Independencia lineal D y E

• Colusión.

INTRODUCCIÓN.

El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman magnitudes escalares aquellas en que sólo influye su tamaño. Por el contrario, se consideran magnitudes vectoriales aquellas en las que, de alguna manera, influyen la dirección y el sentido en que se aplican.

Como ejemplos de magnitudes escalares se pueden citar la masa de un cuerpo, la temperatura, el volumen, etc.

Cuando se plantea un movimiento no basta con decir cuánto se ha desplazado el móvil, sino que es preciso decir también en qué dirección y sentido ha tenido lugar el movimiento. No son los mismos los efectos de un movimiento de 100 km a partir de un punto si se hace hacia el norte o si se hace en dirección sudoeste, ya que se llegaría a distinto lugar.

Aunque el estudio matemático de los vectores tardó mucho en hacerse formalmente, en la actualidad tiene un gran interés, sobre todo a partir de los estudios de David Hilbert (1862-1943) y Stefan Banach (1892-1945), que hicieron uso de la teoría de espacios vectoriales, aplicándolos a las técnicas del análisis matemático.

Por lo tanto el resultado de nuestra investigación esta enmarcada en los concepto, graficas y ejercicio que a continuación le expondremos.

Definición de Vectores.

En matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo. Por ejemplo, si una cantidad ordinaria, o escalar, puede ser una distancia de 6 km, una cantidad vectorial sería decir 6 km norte. Los vectores se representan normalmente como segmentos rectilíneos orientados, como B en el diagrama que se muestra a continuación; el punto O es el origen o punto de aplicación del vector y B su extremo. La longitud del segmento es la medida o módulo de la cantidad vectorial, y su dirección es la misma que la del vector.

El uso sencillo de los vectores así como los cálculos utilizando vectores quedan ilustrados en este diagrama, que muestra el movimiento de una barca para atravesar una corriente de agua. El vector a, u A, indica el movimiento de la barca durante un determinado periodo de tiempo si estuviera navegando en aguas tranquilas; el vector b, o $,representa la deriva o empuje de la corriente durante el mismo periodo de tiempo. El recorrido real de la barca, bajo la influencia de su propia propulsión y de la corriente, se representa con el vector c, u B. Utilizando vectores, se puede resolver gráficamente cualquier problema relacionado con el movimiento de un objeto bajo la influencia de varias fuerzas.

Este método de resolución de problemas, conocido como adición vectorial, se lleva a cabo según se explica a continuación. Un vector que representa una fuerza se dibuja empezando por el origen O en la dirección y con el sentido apropiados. La longitud del vector es proporcional a su valor real según una escala determinada, que puede ser un cierto número de centímetros por cada kilómetro. En el dibujo anterior, la velocidad al remar es de 2,2 km/h, el tiempo transcurrido es 1 hora y la escala es 1 cm por cada km. Por tanto, el vector A mide 2,2 cm y representa 2,2 km. La velocidad de la corriente del río es de 6 km/h, y se representa con el vector $ que mide 6 cm, lo que indica que la corriente recorre una distancia de 6 km en una hora. Este segundo vector se dibuja con su origen en el extremo del vector a y en dirección paralela al movimiento de la corriente. El punto B, extremo del segundo vector, es la posición real de la barca después de una hora de viaje, y la distancia recorrida es la longitud del vector c, u B (en este caso, unos 6,4 km).

Los problemas de adición y sustracción de vectores, como el anterior, se pueden resolver fácilmente utilizando métodos gráficos, aunque también se pueden calcular utilizando la trigonometría. Este tipo de cálculos es de gran utilidad para resolver problemas de navegación y movimiento en general; también se utilizan en la mecánica y otras ramas de la física. En las matemáticas de nuestros días, un vector es considerado como un conjunto ordenado de cantidades con determinadas reglas para su utilización. El análisis vectorial (es decir, el álgebra, la geometría y el cálculo de cantidades vectoriales) aparece en las matemáticas aplicadas en todos los campos de la ciencia e ingeniería.

Elementos de un vector, descripción de cada uno.

El vector esta comprendido por los siguientes elementos:

• La Dirección: esta determinada por la recta de soporte y puede ser vertical, horizontal e inclinada u oblicua.
• La orientación: o sentido, esta determinada por la flecha y puede ser horizontal hacia la derecha o hacia la izquierda, vertical hacia arriba o hacia abajo e inclinada ascendente o descendente hacia la derecha o hacia la izquierda.
• El punto de aplicación: esta determinado por el punto origen del segmento que forma el vector.
• La longitud o módulo: es e
  
  • l número positivo que representa la longitud del vector.
• Representación grafica de un vector. Dado su origen y su extremo.
C Origen d. Extremo c. Dirección vertical con sentido hacia arriba. Se denota d c
D
Origen f. Extremo e. Dirección inclinada hacia la derecha con sentido ascendente. Se denota f e
E F
• Componentes de un vector grafica y analíticamente. Con ejemplos.
Se llama componentes de un vector, situado ene un sistema de coordenadas, al punto que tiene como abcisas la diferencia de las abcisas y como ordenada la diferencia de las ordenadas de los puntos que conforman el extremo y el origen, en ese orden.
• analíticamente:
dados los puntos a (3,4) b (-2,3) c (-4,-3) y d (1,0). Determinar las componentes de cada uno delos siguientes vectores: a) ab b) bc c) cd.
a) ab a (3,4) b (-2,). b-a
Abcisas -2-3 = -5 Ordenadas 3-4 = -1
• Gráficamente:

• Vectores equipolentes. Definición, ejercicios de equipolencia de vectores.
Son vectores libres que tienen igual módulo, misma dirección y sentido. Sus rectas soportes son paralelas o coincidentes. Por lo tanto, estos vectores tendrán las mismas componentes cartesianas. Dos vectores fijos son equipolentes si tienen el mismo módulo, dirección y sentido. Para comprobarlo, se unen sus orígenes y sus extremos respectivos. Si el polígono resultante es un paralelogramo, los vectores son equipolentes.
• un MÓDULO: El módulo de un vector fijo es la distancia de sus extremos.
• una DIRECCIÓN: viene dado por la recta sobre la cual está situado el vector, que tiene una pendiente fija.
• un SENTIDO: viene a indicar un sentido de la recta
Según esta primera idea podemos encontrar numerosos vectores fijos con estos tres elementos idénticos. Así por ejemplo en la siguiente figura tenemos seis vectores todos ellos con el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

• Adición y sustracción de vectores, grafica y analíticamente; ejemplos.
La adición (y la sustracción) de dos matrices A + B (o A - B) requiere que las matrices sean de dimensiones iguales. A continuación cada elemento de una matriz se suma (o resta) del elemento correspondiente de la otra matriz. Así, a11 de A se sumara (o restara) a b11 de B; a12, a b12, etc. Ejemplo. A continuación se calcula la suma A + B, dadas las matrices A y B: (3*3)  (3*3) (3*3)=  La diferencia C - D, dadas las matrices C y D, se determina como sigue: (2*2)  (2*2)  (2*2)= 
• Grafica: b
. a a + b
• Analíticamente:
  
  Para sumar vectores de forma analítica debemos conocer sus coordenadas cartesianas. Si alguno de los  vectores sumando está expresado en coordenadas polares debemos, en primer lugar, expresarlo en coordenadas cartesianas. La adición se realiza entonces sumando componente a componente. De esta forma, la suma de los vectores (2,3) y (-1,2) será el vector (1,5): (2,3)+(-1,2)=(2+[-1],3+5)=(1,5). La adición de vectores se convierte, en realidad, en una suma de pares de números.
  
  SUMA DE VECTORES
  
  La suma de vectores A y B se obtiene al hacer coincidir el extremo de uno de ellos con el origen del otro; la suma es el vector que va del inicio del primero al extremo del segundo.
  Las propiedades de la suma de vectores son:
  Propiedad conmutativa
  
  
  
  Propiedad de la desigualdad del triángulo
  
  Propiedad asociativa
  
  La suma de vectores se puede realizar de dos formas, la primera es utilizando la ley de los senos y cosenos, la segunda forma es por medio de descomposición de fuerzas. Más adelante hay varios problemas aplicando lo antes dicho. 
  RESTA DE VECTORES.
  
  Restar el vector B del vector A es equivalente a sumarle el inverso aditivo de B. Para restar vectores se unen en su origen y el vector resta es la unión de sus extremos dibujando el sentido hacia el que se le va a quitar, el paso siguiente es calcular el vector con el mismo procedimiento que en la suma.
  
  A-B B-A
  
  
  
  
  
  A B A B
  
• multiplicación de un numero por un vector, grafica y analíticamente.
Los vectores libres se pueden multiplicar por un número real n. El vector resultante será un vector de módulo n veces el original, de la misma dirección que el original y de sentido igual al original si n es positivo y de sentido contrario si n es negativo. Al vector A+A le llamamos 2A, observándose que el vector 2A es el doble de tamaño que el vector A y con su misma magnitud y sentido. Así multiplicar un vector A por un número real P es hacer PA P veces más largo que A. Propiedad conmutativa. Propiedad asociativa.   Propiedad distributiva.
• Producto escalar de 2 vectores. Definición y ejercicios.
Los productos vectoriales son el producto punto o el producto cruz. El primero de ellos “Producto punto” es el siguiente: El producto punto de dos vectores se define como el producto de sus magnitudes por el coseno del menor ángulo formado por ellos. En símbolos se representa: Propiedad conmutativa Propiedad asociativa Propiedad distributiva El producto cruz se define como el producto de sus magnitudes por el seno del ángulo formado por ellos en la dirección n. En símbolos se representa: El producto cruz es anticonmutativo Pero: Propiedad distributiva
Siendo m un escalar Otra propiedad sería: Fuerzas en el espacio: Las fórmulas que se utilizan para encontrar las componentes y sus ángulos directores son: PROBLEMAS Problema 1 Realizar la suma de los siguientes vectores: A+B 45kg 65kg B A B A |A|= 45kg |B|= 65kg = 115° Utilizando la ley de los cosenos tenemos: Dirección: haciendo un ángulo de 60°+ con eje X De acuerdo con la ley de los senos: Así de esta manera tenemos que la dirección del vector es haciendo un ángulo de 60°+39°9=99°9 con el eje X, por último también sabemos que el sentido del vector es hacia arriba.
• Vectores perpendiculares u Ortogonales. Definición y ejercicios.
Dos vectores son ortogonales si su producto escalar es cero. Si además de ortogonales los vectores son unitarios se llaman ortonormales. A veces nos piden construir una base ortonormal a partir de otra base que no es ortonormal. Esto se puede hacer por el método de Gram-Schmidt. Sea B = {b1,b2,b3} una base que no es ortonormal. Los vectores: c1 = b1 c2 = b2 - c1.b2/c1.c1(c1) c3 = b3 - c1.b3/c1.c1(c1) - c2.b3/c2.c2(c2) Los productos que hay en la fracción son productos escalares. Ejemplo: Sea la base (1,1,1), (0,2,-1) y (1,0,2). Haciendo las operaciones indicadas nos queda: El vector (1,1,1) se transforma en (1,1,1). El vector (0,2,-1) se transforma en (0,2,-1) - 1/3 (1,1,1) = (-1/3, 5/3, -4/3). El vector (1,0,2) se transforma en (1,0,2) - 3/3 (1,1,1) + 3/7 (-1/3, 5/3, -4/3) = (-1/7, -2/7, 3/7).
• Vectores paralelos D Y E.
No es difícil deducir que dos vectores cuyos componentes son múltiplos (enteros o no) de otro, son paralelos entre sí, de manera que se puede decir que: Dos vectores no nulos v y w, son paralelos si y sólo si existe un escalar k, diferente de cero, tal que v = kw Ejemplo 1 Dados los siguientes vectores, grafíquelos, compruebe que son paralelos e identifique el valor del escalar. u = (2, 4, 1), v = (1, 2, ½); w = (-2, -4,-1)

Si k1 = ½, entonces; ku = v Si k2 = -1, entonces; ku = w Observe que siempre que los vectores paralelos tienen el mismo origen los vectores son además colineales, sin embargo, la condición de paralelismo se cumple en otras condiciones.
• Vector Unitario. Ejemplo y Grafico.
Como su nombre indica un vector unitario es un vector que tiene de módulo 1. A veces nos dan un vector y nos piden que calculemos su vector unitario (si lo queréis decir de forma elegante:normalizar un vector). Lo unico que tenemos que hacer es calcular el módulo del vector (sea m) y dividir el vector por m. Por ejemplo si el vector es ai + bj, el módulo sera la raiz cuadrada de a2 + b2 .

i = 1, 2, 3...

Modulo del vector unitario. Factor métrico Sabiendo que:


Simplificando y despejando hi tenemos:





Forma diferencial


El diferncial total:

Por definición de vector unitario:

Para coordenadas cartesianas
u1 = X ; u2 = Y ; u3 = Z
h1 = h2 = h3 = 1

• Normas de un vector. D Y E.
• D + E = E + D
• (D + E) + W = D + (E + W)
• D + 0 = 0 + D
• D + ( - D) = 0
• K ( + D) = (K + ) D
• K ( D + E ) = KD = KE
• (K + 1)D = KD + 1D
• 1D = D
• Vector combinación lineal de otros. Definición y Ejercicios.
Teniendo en cuenta que los vectores se pueden sumar entre sí y que se pueden multiplicar por números reales, podremos obtener vectores haciendo estas operaciones de suma y multiplicación. Supongamos que un vector v es el resultado de multiplicar un vector a por 5 y sumarle otro vector b (v = 5a + b), en este caso diremos que v es unacombinación lineal de a y b. Dado un conjunto de vectores, si ninguno de ellos es combinación lineal de los demás, se dice que ese conjunto de vectores son linealmente independientes y linealmente dependientes en caso contrario. En el plano, un vector queda definido por dos componentes (en el espacio de tres dimensiones, necesitaríamos tres). Cualquier par de vectores linealmente independientes forman una base del plano vectorial. En un plano, tres vectores son siempre linealmente dependientes. Esto quiere decir, que cualquiera de los tres vectores se puede obtener como una combinación lineal de los otros dos.
• Ejercicio:
¿Cómo averiguar si dos vectores, referidos a una base, en un plano son linealmente dependientes? Supongamos que nos pregunta si los vectores a = 4i - 5j y b = 3i + j, que están referidos a una base B = {i,j}, son linealmente independientes. Para que a y b sean dependientes tendría que existir un único número real k que cumpliese la ecuación ka = b. O sea, k(4i - 5j) = 3i + j. Igualando las componentes: 4k = 3 y -5k = 1. Para que se cumpla la primera ecuación k tiene que valer 3/4 y para que se cumpla la segunda k tiene que valer -1/5, por lo tanto los dos vectores son linealmente independientes.
• Dependencia e Independencia lineal D y E
dos vectores libres del plano son                                - linealmente dependientes cuando son paralelos, y por tanto podemos escribir cada uno de ellos como combinación lineal del otro.                               - linealmente independientes cuando son no paralelos, y por tanto es imposible escribir uno de ellos como combinación lineal del otro
CONCLUSION
Estableciendo Los datos resultantes de estas investigación hemos podido comprender y analizar los diferentes conceptos que se desarrollan entorno a un vector, y las diferentes aplicaciones que este tiene en la vida cotidiana: el cual nos permite localizar un punto especifico u bien sea la posibles contradicciones que presente x construcción la cual debe tener para su realización diferentes tipos de estudios vectoriales que conllevaran a lo que es el desarrollo de infraestructura. Si bien es determinante este estudio, podríamos agregar que el estudio de los vectores lleva consigo un amplio lugar de trabajo ya que tiene influencia en áreas de trabajo, influencias que antes eran desconocidas por nosotros. Por lo tanto hemos determinado que el estudio conciso de este trabajo permitió que nuestros conocimientos acercas de los vectores se hayan ampliado de manera tal que podemos determinar con la utilización de las formulas correcta la distancia y la inclinación de un objeto, tomando en cuenta su dirección, orientación, punto de aplicación y longitud o módulo. Los cuales pertenecen a las características constantes que conforman un vector. En el sistema vectorial existen 2 tipos de estudios o problemas uno analítico y otro grafico que permite especificar los diferentes puntos de acción.